บัญชา ธนบุญสมบัติ
buncht@mtec.or.th

ครั้งนี้จะขอเชิญชวนมาทำความรู้จักกับตัวเลขชุดหนึ่งที่มีสมบัติแปลก ๆ น่าทึ่งไม่น้อยเลย ลองคว้าเครื่องคิดเลขแบบธรรมดา ๆ มาไว้ใกล้มือ เดี๋ยวจะได้เรียนรู้เกร็ดหนุก ๆ ไว้สอนเด็ก หรือหลอกเพื่อนฝูงรอบตัวได้แล้ว

ตัวเลขแสนกลที่ภูมิใจเสนอคือ 142857 ซึ่งไม่ธรรมดาเลย ลองดูตัวอย่างง่าย ๆ กันก่อน ด้วยการคูณเลขนี้ด้วยตัวเลข 1 ถึง 6 ดังนี้:

142,857 x 1 = 142,857
142,857 x 2 = 285,714
142,857 x 3 = 428,571
142,857 x 4 = 571,428
142,857 x 5 = 714,285
142,857 x 6 = 857,142

สังเกตดี ๆ จะเห็นว่า ตัวเลขจะวนไปเวียนมาอยู่แค่ 1, 4, 2, 8, 5 และ 7 ซึ่งเป็นตัวเลขตั้งต้น แต่มีจุดพิเศษก็คือ ลำดับของตัวเลขจะไล่ไปเรื่อย ๆ อย่างมีระเบียบ เหมือนมีเลข 1-4-2-8-5-7 เรียงอยู่บนวงกลม เช่น ถ้าเริ่มจาก 4 ก็จะต่อด้วย 2-8-5-7-1 หรือถ้าเริ่มจากเลข 2 ก็จะต่อด้วย 8-5-7-1-4 เป็นต้น ตัวเลขที่มีพฤติกรรมอย่างนี้ก็เลยได้ชื่อเรียกว่า เลขวัฏจักร (cyclic number) (วัฏ = วงกลม)

ลองมาดูเรื่องเลขวัฏจักรกันอีกนิดว่า นอกจากเลข 142857 แล้ว ยังมีตัวอื่นอีกไหม ? (คิดเฉพาะเลขฐาน 10)

ตอบว่ามี แต่ต้องเพิ่มลูกเล่นเข้าไปนิดหน่อย โดยยอมให้เติมเลข 0 เข้าไปข้างหน้าได้ ซึ่งจะพบว่าเลขวัฏจักรตัวถัดไปยาวเฟื้อยถึง 16 หลัก ยังกะเลขบัตรเครดิต ได้แก่ 0588 2352 9411 7647

ตัวอย่างเช่น หากลองคูณด้วย 2 จะพบว่า 0588235294117647 x 2 = 1176 4705 8823 5294 ซึ่งเกิดจากการย้ายกลุ่มเลข 6 ตัวหลังสุด คือ “117647” ไปขวางด้านหน้าส่วนที่เหลือคือ “0588235294” ก็จะเป็นคำตอบ ส่วนตัวคูณอื่น ๆ ถ้ามันมือก็ลองคูณดูเอง

กลับมาดูเลข 142857 อีกครั้ง โดยคูณด้วย 7 จะได้ว่า

142,857 x 7 = 999,999 (= 1 ล้าน – 1)

จะเห็นว่าผลลัพธ์เต็มไปด้วยเลข 9 ล้วน ๆ (หรือจะจำง่าย ๆ ว่าเท่ากับ 1 ล้าน หักออกไป 1 ก็ยังได้)

จุดนี้น่าสนใจไม่น้อย เพราะรู้กันมานานแล้วว่า ตัวเลข 142857 ตัวเก่งของเรามีความสัมพันธ์กับเลข 9 อีกหลายแง่มุม ลองดูกรอบใกล้ ๆ ต่อไปนี้สิครับ

ความสัมพันธ์ระหว่าง 142857 กับเลข 9
นอกจากผลคูณ 142,857 x 7 = 999,999 แล้ว ตัวเลข 142857 ยังมีความสัมพันธ์กับเลข 9 ในแง่มุมอื่น ๆ อีกด้วย เช่น

  • หากจับกลุ่มทีละ 3 ตัว แล้วนำมาบวกกัน จะได้ 142 + 857 = 999
  • หากจับกลุ่มทีละ 2 ตัว แล้วนำมาบวกกัน จะได้ 14 + 28 + 57 = 99
  • หากจับเลขแต่ละหลักมาบวกกัน จะได้ 1+4+2+8+5+7 = 27 ทำซ้ำจะได้ 2 + 7 = 9 (การที่ได้ผลลัพธ์เท่ากับ 9 เช่นนี้ แสดงว่าตัวเลขตั้งต้นคือ 142,857 หารด้วย 9 ลงตัว คือได้ผลลัพธ์เป็น 15,873 เศษ 0)
  • ในการเรียงตัวเลข 1, 4, 2, 8, 5, 7 กระจายไปบนวงกลมตามลำดับ ด้วยระยะห่างเท่าๆ กัน จะพบว่า ตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกันจะรวมกันได้ 9 เนื่องจาก 1+8 = 9, 4+5 = 9 และ 2+7 = 9

ทีนี้ลองคูณด้วยเลขที่มากกว่า 7 ดูบ้าง
142,857 x 8 = 1,142,856

ซึ่งหากย้ายตัวเลข 1 ของหลักล้าน ไปบวกกับอีกหกหลักที่เหลือจะได้
1+142,856 = 142,857 (อีกแล้ว)

ลองคูณด้วยเลขสองหลักแบบสุ่ม ๆ ดูมั่ง
142,857 x 34 = 4,857,138

ซึ่งหากย้ายตัวเลข 4 ของหลักล้าน ไปบวกกับอีกหกหลักที่เหลือจะได้
4+857,138 = 857,142 = 142,857 x 6 นั่นเอง

แต่หากลองคูณด้วยเลขที่เป็นจำนวนเท่า ๆ ของเลข 7 ได้แก่ 14, 21, 28, …
142,857 x 14 = 1,999,998

ซึ่งหากย้ายตัวเลข 1 ของหลักล้าน ไปบวกกับอีกหกหลักที่เหลือจะได้ 1+999,998 = 999,999 = 142,857 x 7 (และอาจมองว่านี่เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเลข 142857 กับเลข 9 ด้วยอีกแบบหนึ่ง)

ส่วนการคูณด้วยตัวเลขอื่น ๆ อยากให้ลองดูเอง แล้วลองจับหลักว่าผลลัพธ์ที่ได้มีรูปแบบอย่างไร

การคำนวณกับตัวเลข 142857 นี้ยังอาจทำให้ซับซ้อนเพิ่มขึ้นไปอีก เช่น

  • จับเลขสามหลักหลังยกกำลังสอง (คือ คูณตัวเอง) แล้วหักออกด้วยเลขสามหลักแรกยกกำลังสอง ดังนี้
    (857 x 857) – (142 x 142) = 734,449 – 20,164 = 714,285 = 142,857 x 5
  • จับเลขทั้งตัวยกกำลังสองก่อน จะได้ว่า
    (142,857)2 = 142,857 x 142,857 = 20,408,122,449จากนั้น แยกผลลัพธ์ออกเป็น 2 ส่วนแล้วบวกกัน โดยส่วนหลังมีจำนวนหลักเท่ากับตัวตั้ง (ในที่นี้คือหกหลัก) ดังนี้
    20,408 + 122,449 = 142,857

จะเห็นว่า ผลลัพธ์ที่ได้กลับมาเป็นตัวตั้งต้น (ซึ่งในที่นี้ได้แก่ 142,857) อีกครั้ง ในกรณีเช่นนี้จะกล่าวว่าเลข 142857 เป็นเลขคาปริการ์ (Kaprekar number) ด้วย (โปรดดูข้อมูลเกี่ยวกับเลขคาปริการ์ในกรอบด้านล่าง)

เลขคาปริการ์ (Kaprekar number) คืออะไร ?
ในวิชาคณิตศาสตร์ หมายถึง เลขจำนวนเต็มบวก (สำหรับฐานที่กำหนดให้หนึ่ง ๆ) ซึ่งเมื่อถูกยกกำลังสองแล้ว สามารถแยกออกเป็น 2 ส่วน โดยเมื่อนำตัวเลขทั้งสองส่วนนี้มาบวกกัน ก็จะได้ตัวเลขตั้งต้นเหมือนเดิม ทั้งนี้ หากตัวเลขตั้งต้นมีจำนวน n หลัก ตัวเลขส่วนแรกจะมีจำนวนหลักเท่ากับ n หรือ n-1 และตัวเลขส่วนที่เหลือมี n หลัก (เท่ากับตัวเลขตั้งต้น)ตัวอย่างเช่น เลข 297 ซึ่งเมื่อยกกำลังสองจะได้ (297)2 = 88,209 จากนั้นแยกเป็น 88 + 209 = 297 เช่นเดิม ดังนั้น ตัวเลข 297 จึงเป็นเลขคาปริการ์

ตัวเลขคาปริการ์ตัวอื่น ๆ (ในฐาน 10) เช่น 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223 และ 2728 เป็นต้น

ตัวเลขนี้ตั้งชื่อตาม D.R. Kaprekar นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย

หมายเหตุ : เลขคาปริการ์ (Kaprekar number) แตกต่างจาก ค่าคงที่คาปริการ์ (Kaprekar’s constant) หรือค่า 6174 ซึ่งมาจากกระบวนการคาปริการ์ (Kaprekar’s process) – ประเด็นนี้จะกล่าวถึงในบทความอื่นต่อไป

ถึงจุดนี้แล้ว คงจะสงสัยว่าเจ้าเลขแสนกล 142857 นี่มาจากไหน ? ใครช่างสังเกต คงจะพอรู้ว่า ค่าเศษหนึ่งส่วนเจ็ดนั้น เมื่อเขียนเป็นทศนิยม จะได้ว่า

1/7 = 0.142857 142857 … (เรื่อยไปไม่รู้จบ)

ส่วนใครที่มีศรัทธากับศาสตร์อย่างนพลักษณ์ (Enneagram) ก็จะบอกได้ทันทีว่า ลูกศรที่เริ่มจาก “คน 1” (The Perfectionist = คนเนี้ยบ) นั้น เมื่อไล่ไปเรื่อย ๆ ด้วยลำดับเดียวกันนี้นั่นคือ 1 -> 4 -> 2 -> 8 -> 5 -> 7 เช่นกัน (ใครรู้ว่าทำไมต้องเรียงลำดับอย่างนี้ ช่วยบอกผมทีเถอะ)

นี่เป็นเพียงเสี้ยวหนึ่งของความน่าทึ่งของตัวเลข 142857 เท่านั้น อย่างไรก็ดี ขอสะกิดเตือนไว้สักนิดว่า ได้เห็นตัวเลขเยอะ ๆ อย่างนี้แล้ว อย่าเกิดกิเลสอยากไปเล่นหวยเข้าล่ะ

แต่ถ้าเล่นแล้วได้ตังค์ ก็ไม่ควรลืมเผื่อแผ่ (กระจายรายได้) มาให้บ้างนะจ๊ะ…อิ…อิ 😛

 

 

 

แนะนำขุมทรัพย์ทางปัญญา